جواب فعالیت دوم صفحه 38 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 38 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام دانش‌آموزان عزیز! این فعالیت به شما کمک می‌کند تا **علامت نسبت‌های مثلثاتی** را در ربع‌های مختلف، با استفاده از تعاریف مختصاتی سینوس و کسینوس، درک کنید. ### **تحلیل علامت‌ها در ربع سوم (III)** **۱. مختصات در ربع سوم:** * همان‌طور که در سوال اشاره شده، در ربع سوم، نقطه‌ی $P(x, y)$ دارای مختصاتی است که هم **$x$** و هم **$y$** آن **منفی** است. یعنی: $$x < 0 \quad \text{و} \quad y < 0$$ **۲. علامت سینوس و کسینوس:** * **کسینوس ($\cos \theta$):** تعریف $\cos \theta = x$. چون $x < 0$ است، پس **$\cos \theta$ منفی** است. * **سینوس ($\sin \theta$):** تعریف $\sin \theta = y$. چون $y < 0$ است، پس **$\sin \theta$ منفی** است. **۳. علامت تانژانت و کتانژانت:** * **تانژانت ($\tan \theta$):** تعریف $\tan \theta = \frac{y}{x}$. از تقسیم دو مقدار منفی، نتیجه مثبت می‌شود: $$\tan \theta = \frac{\text{منفی}}{\text{منفی}} = \mathbf{\text{مثبت}}$$ * **کتانژانت ($\cot \theta$):** تعریف $\cot \theta = \frac{x}{y}$. از تقسیم دو مقدار منفی، نتیجه مثبت می‌شود: $$\cot \theta = \frac{\text{منفی}}{\text{منفی}} = \mathbf{\text{مثبت}}$$ **نتیجه‌ی مهم:** در ربع سوم، تنها **تانژانت و کتانژانت مثبت** و سینوس و کسینوس منفی هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 38 ریاضی دهم - بخش ۲ حالا نوبت بررسی علائم نسبت‌های مثلثاتی در **ربع دوم** است. نقطه‌ی $P$ در ربع دوم قرار دارد. ### **تحلیل علامت‌ها در ربع دوم (II)** **۱. مختصات در ربع دوم:** * در ربع دوم، نقطه‌ی $P(x, y)$ در سمت چپ محور $y$ و بالای محور $x$ قرار دارد. بنابراین: * مختصات افقی ($x$) **منفی** است: $x < 0$ * مختصات عمودی ($y$) **مثبت** است: $y > 0$ **۲. علامت سینوس و کسینوس:** * **کسینوس ($\cos \alpha$):** $\cos \alpha = x$. چون $x < 0$ است، پس **$\cos \alpha$ منفی** است. * **سینوس ($\sin \alpha$):** $\sin \alpha = y$. چون $y > 0$ است، پس **$\sin \alpha$ مثبت** است. **۳. علامت تانژانت و کتانژانت:** * **تانژانت ($\tan \alpha$):** $\tan \alpha = \frac{y}{x}$. از تقسیم یک مقدار مثبت بر یک مقدار منفی، نتیجه منفی می‌شود: $$\tan \alpha = \frac{\text{مثبت}}{\text{منفی}} = \mathbf{\text{منفی}}$$ * **کتانژانت ($\cot \alpha$):** $\cot \alpha = \frac{x}{y}$. از تقسیم یک مقدار منفی بر یک مقدار مثبت، نتیجه منفی می‌شود: $$\cot \alpha = \frac{\text{منفی}}{\text{مثبت}} = \mathbf{\text{منفی}}$$ **نتیجه‌ی مهم:** در ربع دوم، تنها **سینوس مثبت** و بقیه نسبت‌ها منفی هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 38 ریاضی دهم - بخش ۳ این جدول، خلاصه‌ی نهایی برای به خاطر سپردن **علامت نسبت‌های مثلثاتی** در هر چهار ربع دایره‌ی مثلثاتی است. در واقع این جدول نشان می‌دهد که در هر ربع، کدام نسبت‌ها مثبت هستند (به طور خلاصه: **همه، سینوس، تانژانت، کسینوس**). ### **تکمیل مشخصات مختصاتی ربع‌ها** * **ربع اول:** $x > 0$ و $y > 0$ (داده شده) * **ربع دوم:** $x$ منفی و $y$ مثبت $\Rightarrow \mathbf{x<0, y>0}$ * **ربع سوم:** $x$ منفی و $y$ منفی $\Rightarrow \mathbf{x<0, y<0}$ (مطابق بخش ۱) * **ربع چهارم:** $x$ مثبت و $y$ منفی $\Rightarrow \mathbf{x>0, y<0}$ ### **تکمیل علامت‌ها در جدول** | نسبت | ربع اول ($x>0, y>0$) | ربع دوم ($x<0, y>0$) | ربع سوم ($x<0, y<0$) | ربع چهارم ($x>0, y<0$) | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\sin \theta = y$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{-}$ | $\mathbf{-}$ | | $\cos \theta = x$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{-}$ | $\mathbf{-}$ | $\mathbf{+}$ | | $\tan \theta = y/x$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{-}$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{-}$ | | $\cot \theta = x/y$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{-}$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{-}$ | **جدول کامل‌شده:** | مقدار | ربع اول $x,y>0$ | ربع دوم $\mathbf{x<0, y>0}$ | ربع سوم $\mathbf{x<0, y<0}$ | ربع چهارم $\mathbf{x>0, y<0}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\sin \theta$ | $+$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{-}$ | $\mathbf{-}$ | | $\cos \theta$ | $\mathbf{+}$ | $-$ | $\mathbf{-}$ | $\mathbf{+}$ | | $\tan \theta$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{-}$ | $+$ | $\mathbf{-}$ | | $\cot \theta$ | $\mathbf{+}$ | $\mathbf{-}$ | $\mathbf{+}$ | $-$ |